Neuvième séance (mercredi 19 mai) :<br /><br />Dans ce cours, on s'intéresse au contrôle d'une Parametrix pour la solution de<br />l'équation des ondes homogènes sur un espace-temps courbe. Via l'estimation<br />d'énergie pour l'équation des ondes, on se ramène à contrôler le terme d'erreur, ce<br />qui fait l'objet de ce cours. Le terme d'erreur est un opérateur intégral de Fourier<br />dont les propriétés de régularité de la phase et du symbole ont été étudiées aux<br />cours 7 et 8. On commence par décomposer le terme d'erreur en fréquences, ce qui<br />nécessite la preuve d'une propriété de presque orthogonalité. On procède ensuite à<br />une deuxième décomposition, cette fois en angle. Une étude de la presque<br />orthogonalité en angle révèle une divergence logarithmique. Une partie importante du<br />cours est dédiée à cette divergence logarithmique qui nécessite de décomposer le<br />symbole du terme d'erreur à l'aide de l'analyse de Littlewood-Paley géométrique<br />introduite aux cours 7 et 8. On explique alors comment gérer les termes principaux,<br />et les nombreux termes d'erreurs qui sont générés par la méthode. Enfin, on gère le<br />terme diagonal grâce à une équation de transport.
